臺灣化學教育

大家一起做多孔螺旋型與鑽石型三度週期
最小曲面的串珠模型（下）—實作

莊宸^a、左家靜^b、金必耀*^c

^a美國麻省理工學院化學系、^b國家高速網路與計算中心、*^c國立臺灣大學化學系
*byjin@ntu.edu.tw

 

n  摘要

本文詳細闡釋多孔螺旋與鑽石型最小曲面串珠模型的製作過程，包括螺旋長條型帶子的製作方法，長帶的兩種連結方式，以及含有約八個晶胞的此兩種2 x 2 x 2多孔類石墨烯體的組裝程序。最後希望讀者不僅從模型製作過程中，習得此類奈米結構的立體幾何，所製作的成品更可作為具有數學與科學內涵的藝術品。

關鍵字：物理模型、分子模型、串珠模型、三度週期最小曲面、多孔螺旋最小曲面、鑽石型最小曲面、石墨烯結構

“There is a beautiful collection of polyhedral models in wire and cardboard at Winchester College. These were made by three boys, F. J. Dyson, M. S. and H. C. Longuet-Higgins, two of whom have later become university professors.”

─ H. M. Cundy and A. P. Rollett, in “Mathematical Models”

n  引言

前文「三度週期最小曲面的串珠模型（上）」簡單地介紹P、D、G三種最基本的三度週期最小曲面的背景知識^1-5。在本文中，我們將實際的串珠程序模組化，並仔細解釋基本螺旋長帶單元的製作，以及整個D與G兩種結構的連接的過程。

n  單元製作

我們將一個2 x 2 x 2的G曲面沿z方向切割，可分解成十六條螺旋的長條單元（參見圖1），不難看出每一條長帶先是以其一側與鄰帶相接，旋轉半個螺距後，再以帶子的另一側與同一鄰帶相接。將製作這樣分解的好處是，每個螺旋單元很容易由僅有初步串珠經驗的人製作，可使最為冗長的部分由很多的人一起參與，而且不易發生錯誤。另外一個好處是，D曲面也可以分解成一樣的長條帶子，所以同一種基本單元，可以用來製作兩種不同的三度週期最小曲面。

圖1：2 x 2 x 2的G型曲面可分解為16條的螺旋帶子。注意螺旋長帶是左旋、右旋交替排列的。如果把螺旋長帶的兩側想像成DNA的兩股，那麼螺旋長帶中凹下去的地方就很像DNA中的大溝（major groove）與小溝（minor groove）。

單元詳細的平面展開圖如圖2與圖3所示，我們給出如何沿著平點的方向剪裁出長帶的結構單元，這些平點落在長帶的兩側上。用十六條一樣的長條結構單元，做適當地連結，就可以得到D型或是G型曲面。每個長條螺旋帶是由八個八邊形所組成，每個八邊形環繞著八個六邊形，另外，我們也可視長帶為由三條更細的帶子所組成，兩側的細帶子完全是六邊形，而中間則由六邊形與八邊形交替所組成，相鄰的兩個八邊形由一個六邊形以對位方式相接（圖3），因此用這種方式連結而成的結構可用高柏格（Goldberg）向量（2,0）表示。原則上，我們可以用其它高柏格向量來建構不同的最小曲面，但本文將以（2,0）結構為討論重心。

圖2：長條帶子的剪裁。圖中繪製的石墨烯片是一個六苯並苯單元，環繞這六個八邊形與六個六邊形。

圖3：圖上為長帶單元的平面圖與一個建議的編織路徑；圖下是一條長帶的示意圖。示意圖中的灰色區域是一個重複單元，兩側分為四段，用R1, R2, R3, R4與L1, L2, L3, L4表示。

圖中我們用了三種顏色來表示不同的八邊形，用來表示三種不同的八邊形所朝的方向（參見本文首頁中的串珠模型圖示），讀者可以選擇自己喜好的顏色。G與D曲面中的八邊形所處的局部環境完全一樣，但這些八邊形所朝的方向（即法線方向）可以分為三類，分別指向x、y、z方向，我們所剪裁的長帶中的八邊形，則分別朝向x與y方向，圖3中選擇藍色與紅色來表示這兩種八邊形，而長帶的邊緣的紫色珠子則是朝向z方向的八邊形一部分，將在進行組合時，才會完成。圖3中通過每一個多元環的粗線是一個可能的編織路徑，根據過去的經驗，魚線兩端長度消耗的速率大致一樣，是一個不錯的選擇。

選取長度為珠子總直徑兩倍的長度，按照八字編的技巧，循著編織路徑即可一線到底，此時魚線正好通過長條內側的珠子兩次，而邊緣的珠子則正好通過一次，注意應避免將魚線穿過邊緣的珠子超過一次，將來縫合長條單元時，魚線自然會再一次通過這些邊緣珠子。當然圖中所示的編織路也不是唯一的，讀者不難找出其他通過每一個一次而且一次的路徑。初學者建議使用6到10mm的珠子，及0.6到0.8mm的釣魚用的尼龍線。以十六人為一單位，進行分工，每人至少製作一個結構單元。 

所製做成的串珠模型如圖4所示，我們不能將此長條帶子攤在平面上，這與完全由六邊形組成的長條是不一樣，原因是在此長條中的八邊形會產生負的高斯曲率， 整條帶子因而無法平躺在一個平面上，迫使長條帶子逐漸扭曲而形變。經過適當的操弄，長帶可以變成一條逐漸沿一個方向旋轉的螺旋帶子，四個八邊形正好會使得串珠長帶單元扭轉一個螺距。要做出一個2 x 2 x 2的串珠模型，每個長條螺旋單元應該包含至少八個八邊形，約等於是兩個螺距，但最後實際做出來的G型曲面的串珠模型，沿z方向會稍微長些，並非正好是2 x 2 x 2（參見前文圖2的G曲面圖像），讀者不妨思考，若是要正好做出2 x 2 x 2，應該如何調整基本單元長帶的串法。

圖4：單條的螺旋長帶。

為了要簡化相鄰長帶間的連接方式，我們用圖3中的下側的示意圖來表示一條長帶，並且進一步將一個螺距分為四段，每一段稱為一個段距。為了方便描述，兩側各四個段距分別編號為R1、R2、R3、R4，以及L1、L2、L3、L4，這八個段距分別與環繞在前後左右四個相鄰長帶的某一段距相連接。每一相鄰長帶在一個螺距內，用去左右兩側一個連接段距，一個長帶與四個臨帶相接，這樣正樣正好用盡八個段距。

更細的看，每個段距共含有八個珠子，其中在段距邊緣的兩個珠子與相鄰的段距共用，每一個珠子對應到一個碳碳鍵。值得注意的是，排列成鋸齒型（zigzag）形式的碳碳鍵，使用珠子串出來之後是一條相當直的線（圖3），這條直線在八邊形的側邊位置產生轉折，然後連接著接近直線的另一個段距，最終，每四個段距組成一個螺距單元。讀者不妨檢視你所做出來的串珠模型單條螺旋長帶，應該是非常地柔軟，很容易形變，產生許多可能的構形，圖2中所示的僅是比較接近扭轉螺旋形式的構形（twisted helical conformation），適合用作進一步結合成鑽石形週期最小曲面。

n  兩個單元的組裝規律

這節我們將介紹從基本單元螺旋長帶出發，以兩種不同的組裝的方法，做出兩種不同的三度週期最小曲面，即D型曲面與G型曲面。 根據筆者的經驗，組裝的過程是整個過程中最重要，最容易發生錯誤的步驟，所以必須非常的小心檢查有關D與G的結構特徵，一旦發生錯誤，儘早可以進行拆除與修正，由於串珠本質上是一個循序的過程，一旦在某一步發生錯誤，就必須尋原路徑倒回去，拆除每一個步驟，所以時時檢查，確定每一步驟都是正確的，是非常重要的。

再介紹如何連接前，讓我們先熟悉一下圖5中所示的兩條螺旋長帶結合成G型曲面的形狀。與圖1的兩條獨立螺旋長帶比較，應該會注意到相鄰兩個螺旋長帶一個是左旋，另一個右旋的，而且是將螺旋帶的大溝對著小溝的方式，彼此嵌合在一起，產生一左一右交替，但完全一樣的孔洞。同樣地，D型曲面的兩條長帶也是以一左旋一右旋相鄰兩條螺旋長帶結合起來，所產生的孔洞也是完全一樣，但卻是對稱地位在兩長帶結合的正中間，我們在後面會有更多關於幾何特徵的討論。

圖5：相鄰兩條螺旋長帶結合成一個兩條G型曲面結構。

1. D型連接

相鄰兩帶的連接處為（R1, L1）及（R3, L3）。將相鄰兩帶反向排列（見圖6），一條是紅藍紅藍排列，另一條則是藍紅藍紅排列。在段距1處，將相鄰兩帶的R1與L1連接起來，然後在段距3的地方必需將長帶扭轉，使得位於外側處的L3、R3扭轉到內側，然後再連接起來。在實際操作時，不難發現，必需將長帶沿其中軸扭轉為螺旋狀，讓一條是左旋另一條是右旋，才能進行上述的結合。

2. G型連接

相鄰兩帶的連接處為（R1, L2）及（R3,L4）。將相鄰兩帶同向排列（見圖7），兩條均是紅藍紅藍排列。先將R1與L2連接起來，然後彎曲兩條長帶，使其一條左旋、另一條右旋，再將R3與L4處的段距連接起來。

這兩種連結方式，單條螺旋長帶有不一樣的形變：D型曲面中的長帶以扭轉（twisting）為主，而G型曲面則含有相當程度的彎曲（bending）貢獻。螺旋長帶在三度空間的形狀變化，可以用扭轉（twisting）與彎曲（bending）的程度來區分。我們這裡所談的扭轉與彎曲的概念，基本上與DNA的雙股在三度空間的變化是一樣的，可以想像DNA像是一個鐵軌，鹼基對像是鐵軌的枕木，描述DNA鐵軌在三度空間中旋轉可以有兩個極限。方便於解釋，先想像兩鐵軌在枕木的中間平均位置所形成曲線稱為中軸曲線。在第一個極限情況，中軸曲線是一條直線，枕木繞著它旋轉，此為純扭轉極限，這對應到的是Z型的DNA。另一極限情況，是鐵軌完全不繞著中線轉，而是兩鐵軌與中線一起轉，這是彎曲的極限，有點像是煙卷螺旋。

回到P、D、G三種三度週期最小曲面，D曲面完全以扭轉為主，P曲面是彎曲的極限，而G曲面則是在兩者之間，有點類似B型的DNA，螺旋長帶有一些扭轉，也有一些彎曲。在實際進行相鄰兩長帶的組裝時，會注意這螺旋長帶所產生的變化，組裝D曲面時，必須將螺旋長帶沿其中軸線扭轉，而在組裝G曲面時，則必須將長帶進行一定程度的彎曲，再進行連接。

圖6：D型曲面中，相鄰兩長帶的連接方式示意圖。注意兩長帶的顏色走向是相反的。

圖7：G型曲面中，相鄰兩長帶的連接方式示意圖。注意兩長帶的顏色走向是相同的。

圖8與圖9給出D型與G型兩種曲面的螺旋長帶的連接詳圖，連接每一段距，我們需要用到額外的四個珠子，其中兩個屬於面向z軸方向的八邊形，使用紫色；另外兩個屬於六邊形，與八邊形並不相接，使用白色的珠子。每條螺旋長帶與鄰帶相接，需要用掉4 x 16 = 64個珠子，十六條需接合24次，所以共需64 x 24/2 = 768個珠子，除以2是為了避免重複計數。還有每一長條用了250顆珠子，十六條共4000個珠子，所以共需4768個珠子，由於還沒有計算最後在上下兩面額外再加的珠子，整個模型應該需要5000個珠子左右。

圖8：D型曲面中，相鄰兩長帶的連接方式詳圖。

圖9：G型曲面中，相鄰兩長帶的連接方式詳圖。

結合兩條螺旋長帶的串珠結構如圖10與圖11所示，分別對應到D型與G型結構。仔細審視，不難看出與前面的討論一樣，我們所得的D型曲面的串珠模型中，螺旋長帶是以扭轉的方式，與相鄰的長帶彼此結合；而G型曲面的串珠模型，則是以扭轉加上一定程度的彎曲，再與相鄰的長帶結合。值得再一次強調的是相鄰的螺旋長帶，一個是左旋的，另一個則是右旋的。兩個曲面中的孔動的排列也相當不同，D型曲面中的孔動，正好對稱地排列在兩個螺旋的接合處；而G型曲面中的孔洞則是一左一右，交替排列。而且兩種曲面上的八邊形排列方式也不一樣，D型曲面上的八邊形分別朝向左右四十五度方向；G型曲面上的兩種八邊形，則是正好對著x與y軸的方向。讀者也應不難注意到，D型曲面的平移週期較短，正好是G型曲面的一半。以圖10中的D型曲面為例，深紫色的八邊形，長帶每轉一圈，深紫色的八邊形就重複一次；而G曲面則是長帶多轉一圈，才會重複，因此圖10中的D曲面，沿著長帶的z方向，共轉了4次；但是圖11中的G型曲面只重複兩次。另外，使用同樣長度的螺旋長帶，製作出來的D型曲面會比G型曲面更為狹長。

圖10：只含兩螺旋長條D型曲面的串珠模型。

圖11：只含兩螺旋長條G型曲面的串珠模型。

n  2 x 2 x 2模型的組裝

一旦掌握到相鄰兩個螺旋長帶的兩種連結方式，便可以開始連結其他的螺旋長帶，可以有許多分工的方式，我們的建議如下，首先將十六條兩兩連接，這樣便有如圖10或是圖11中的兩條結構共八個，接下來可以將它們其中兩個，先連接成一個四條單元，再依序一次連接兩條單元上去，最後變形成最後接近2 x 2 x 2的三度週期最小曲面（圖12）。還有一點是當所有的邊都接完時，應不難注意到上下兩個面並沒有平行於xy平面，所以需要額外再編織適當數目的珠子，填滿上下兩個面。用同樣的螺旋長帶單元，也可以繼續製作更大的D型曲面，圖13中的左圖模型是僅含有四條螺旋長帶的D型曲面，而右圖則是用不同的方式所建構的D型曲面的串珠模型⁶，可見相同結構的最小曲面，使用不同的切割與構築方式，最後所產生的串珠模型，也有截然不同的感覺。

如果參與的學生有三十幾人，可以分成兩組，分別進行D型與G型曲面的製作。讀者可能會問，為什麼不將所有的兩條單元，均先接成柱行的四單元結構，然後再兩兩結合，變為八個單元結構，最後再變成十六單元的最後模型。這樣的作法，主要困難在進行接合時，並不是很容易進行串珠，因為需要從兩個相當硬結構的中間，由裡往外串，導致無法進行連接。通常如圖10或是圖11中的兩長帶單元並不是很硬，可以適當地形變，因此以兩長帶單元為基礎，是考慮到一方面可以讓更多的人參與，另一方面也顧及較方便串珠，可以在最短時間，讓最多的人參與，最後完成這兩個模型。

圖12：最後完成的G型曲面串珠模型。

 

圖13：圖左是根據本文所介紹的方法將四條螺旋長帶所組成的D型曲面串珠模型；圖右是直接將四面體單元逐一所構建的結構。

用本文所使用的螺旋長帶做出發點，並無法建構P型三度週期最小曲面，但是P型曲面的結構相對單純，存在有許多的鏡面對稱，直接看著圖14的P型曲面結構，可以很容易理解整個結構中不同區域的相對關係，讀者應該可以很容易地用做出此結構的串珠模型。

圖14：P型三度週期最小曲面的串珠模型。

最後，我們再重複一次有關這三種週期最小曲面的兩個重要結構特徵，可作為實際進行編織時檢查是否正確，但僅適用於高柏格（2,0）向量的P、D與G型曲面：

1.          每一個八邊形旁，以對位方式，環繞著四個另外兩種顏色彼此交替的八邊形，見圖15之左圖。

2.          環繞在六苯並苯旁，共有六個八邊形，顏色交替變換，見圖15之右圖。

3.          八邊形總是處在對位的關係，也就是高柏格向量為（2,0）。

 

圖15：P、D、G三種週期最小曲面中的鄰近八邊形的相對位置關係圖。

n  結論

本文介紹建構G與D型曲面的一個簡單方法，參與者僅需要知道基本編織規律，掌握到單元的製作方法，與單元間的連接方式，即可進行這兩個三度週期最小曲面串珠模型建構。整個串珠過程可視為用數學串珠進行一個分子類比計算，計算出來的結果，就是這兩個類石墨烯的近似三度空間結構。通過模組化，可以讓學生學習互助合作，進行平行化的類比計算，最後得出大型奈米結構的串珠模型。我們相信這種大家參與，一起動手製作大型串珠模型的活動，不但可以增進同學對科學的興趣，還可以讓同學知道合作分工的重要性。更有益於提昇同學對數學與立體幾何的認識，從而學習到奈米結構，特別是三度週期最小曲面等相關知識。製作這些美麗的模型更可啟發同學對美學與藝術的涵養，甚至從而啟發創作自己的科學藝術作品。

“I am overwhelmed by the beauty of the ingenious beaded structures you and your colleagues have created. I can appreciate how much time and effort it must have taken to reach a satisfactory implementation of these structures.”

─ Alan Schoen

n  致謝

本文作者感謝臺灣大學新興物質與前瞻元件科技研究中心與量子科學與工程中心對於本計劃的支持，並感謝國科會支持我們持續在科學與藝術交叉領域中進行探索^7,8。

n  參考文獻

1.        Saranathan V.; Osuji, C.O.; Mochrie, S.G.; Noh, H.; Narayanan, S.; Sandy, A.; Dufresne, E.R. Proc. Natl. Acad. Sci. U S A. 2010, 107, 11676-81.

2.        Schoen, A. H. Interface Focus, 2012, 2 658-668.

3.        Hyde, S. T.; O’Keeffe, M; Proserpio, D. M. Angew. Chem. Int. Ed. 2008, 47, 7996-8000.

4.        Hyde, S. T.; Andersson, S.; Blum, Z.; Lidin, S.; Larsson, K.; Landh, T.; Ninham, B. W.  The Language of Shapes – The role of curvature in condensed matter physics, chemistry and biology, Elsevier, 1997.

5.        金必耀, 大家一起做多孔螺旋與鑽石型三度週期最小曲面的串珠模型（上）—立體幾何介紹，臺灣化學教育 2014。

6.        本文並未介紹製作圖13右側的D型結構，此模型為臺大化學系同學魏緯齊使用另一種方法所製作，對於本文作者理解這些週期最小曲面有重要的啟發。

7.        Chuang, C.; Jin, B.-Y.; Wei, W.-C.; Tsoo, C.-C. Proceedings of Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science, 2012, 503-506.

8.        Chuang, C.; Jin, B.-Y.; Wei, W.-C. 2012 Joint Mathematical Meetings Exhibition of Mathematical Art, ed. by R. Fathauer and N. Selikoff, Tessellations Publishing 2012, 17.