拉賽福與亞佛加厥常數 / 吳奕嫻、胡景瀚

星期六 , 4, 1 月 2020 Leave a comment

拉賽福與亞佛加厥常數

 

吳奕嫻、胡景瀚*

國立彰化師範大學化學系
*
chingkth@cc.ncue.edu.tw

 

n  前言

在高中的化學教室中,如果教師能夠引導學生以一個世紀以前的實驗數據,計算出亞佛加厥常數,並且將其與現代數字作比較,探究實驗的細節並計算所涉的原理,相信學生對於科學探究的本質一定能更有深刻的體會。

亞佛加厥常數(clip_image002)的準確數值為clip_image0041 12公克的碳-12含有clip_image002[1]個碳原子。雖然clip_image002[2]數值對於化學家至為重要,但是其準確值的獲得是相當近代的事。一個世紀以前的科學家們也曾經嘗試各種方法以獲得clip_image002[3]數值,由於這些數值與現代的數值相去甚遠,因此這些研究大多不被現代科學教科書討論。然而,這些古老、間接的方法來自於前輩科學家們的智慧,了解他們如何在準確度偏低的測量數據中,推演出亞佛加厥常數,是一件很有學習價值的事。

本文的目的是介紹二十世紀初利用兩組拉賽福(Ernest Rutherford, 1871 – 1937)的實驗數據,分別是在1908年的α射線的鐳226clip_image006)輻射速率實驗,2 和在1911年的從鐳226clip_image006[1])產生氦氣實驗,3 計算出亞佛加厥常數。值得一提的是,拉賽福本人並未計算出亞佛加厥常數,這個求得亞佛加厥常數的方法是在前面兩篇論文發表後的數十年,才由幾組科學家們提出,其中包括居禮夫人。4

n  計算亞佛加厥常數

利用19081911年的兩組拉賽福實驗數據,從α粒子實驗得到的clip_image006[2]α衰變速率為clip_image008,從氦氣實驗得到clip_image006[3]α衰變產生氦氣的速率為clip_image010。(此處dday的縮寫,1 d = 86400 seconds

由於在0℃且一大氣壓下氣體的莫耳體積是22.4L,因此利用以上兩個數據透過等式計算,可得亞佛加厥常數(clip_image002[4]),如式[1]所示:

clip_image012    [1]

由式[1]計算,可得到clip_image014,利用19081911年的兩組拉賽福實驗數據,得到的亞佛加厥常數其準確度令人驚嘆!

n  兩組拉賽福實驗

一、鐳-226輻射α粒子的速率

1908年,拉賽福和蓋格(Johannes Wilhelm “Hans” Geiger, 1882 – 1945)發表clip_image006[4]輻射α粒子的速率,他們的實驗裝置如圖一所示:

clip_image017

圖一:clip_image006[5]輻射α粒子的速率實驗裝置(圖片來源:https://archive.org/details/paper-doi-10_1098_rspa_1908_006

 

圖一之右是偵測器(detecting vessel),抽氣至低壓(2-5 cm Hg)。A是包覆於電池正極的管柱,B是一條連到電池負極的電線,外加電壓。被α粒子游離的氣體,會將電流訊號放大數千倍傳到BC為硬橡皮塞,D是讓α射線通過的小孔,直徑為數毫米,孔上裝有薄雲母片(將α粒子減速)。E為長玻璃管,輻射源可放置在距C不同長度的位置。F是活塞活栓,打開後α粒子可穿透到偵測器,G是磨口玻璃塞。

我們將鐳-226clip_image006[6])的主要衰變路徑及其半衰期列於表一。

表一:clip_image006[7]的主要衰變路徑及其半衰期

clip_image002[13]

(資料來源:https://en.wikipedia.org/wiki/Radium

從鐳-226clip_image006[8])衰變到比較穩定的鉛-210clip_image021)過程中,共有4個反應會放出α粒子,有3個反應會放出γ射線。 拉賽福和蓋格將clip_image023從暴露在大量clip_image025數小時之後的固體移開,靜置十五分鐘之後clip_image023[1]幾乎完全衰變,所測得的α粒子幾乎都是從clip_image027β衰變後立即由clip_image029產生。實驗測量10分鐘內衰變的α粒子數,並同時在上圖的垂直方向以另一個相似的偵測器測量樣品的γ射線強度。儀器只能量到能量較高的γ射線,由clip_image029[1]產生的γ射線。將測量得到的γ射線強度與處於「放射性平衡」(radioactive equilibrium5 clip_image006[9]標準品的γ射線強度作比較,推算出樣本的相對clip_image006[10]質量,再算出每單位時間單位質量釋放的α粒子數。

在拉賽福的時代,clip_image025[1]稱為radium emanation(蒸散後的鐳),clip_image023[2]clip_image032clip_image027[1]分別稱為radium Aradium Bradium C

α射線通過的小孔(D)直徑為1.25 mm,輻射源距離小孔150 cm10分鐘內偵測器量到45α粒子,輻射源對應於0.55微克的clip_image006[11],如圖二所示。

clip_image035

圖二:計算clip_image006[12]輻射α粒子速率之示意圖

每單位時間單位質量釋放的α粒子數的計算方法,如式[2]所示:

clip_image037    [2]

 

 

二、從鐳生產氦

利用前述的電流訊號放大偵測法,拉賽福等人於1911年以γ射線強度測得實驗中鐳的質量為0.192 mg,經過83天後共產生6.58 mm3的氦,經過132天後共產生10.38 m3的氦(1 atm, 0℃)。3

clip_image006[13]衰變到比較穩定的clip_image021[1]過程中,共有4個反應會放出α粒子,和α粒子實驗不同的是,實驗以鐳的鹽類(RaBr2進行,因此表一所列的其他放射性物質的濃度為零。以實驗時間132天來看,表一中的第三和第四個α粒子輻射反應可以視為處於放射性平衡,第一個α粒子輻射反應極為緩慢,其反應速率可視為常數。若每天由clip_image006[14]釋放的α粒子所產生的氦氣體積為x,則其他三個α粒子輻射反應所產生的氦氣體積應小於y = 3x。在反應的第T天,氦氣的體積如式[3]所示:6

氦氣的體積 = clip_image040    [3]

在式[3]中的第一項是由clip_image006[15]產生的的氦氣體積,第二項是clip_image025[2]每天α粒子輻射產生氦氣的三倍體積,積分式[3]得,clip_image043clip_image006[16]α衰變速率常數,因為clip_image045,以實驗的天數,積分中的clip_image047趨近於零,因此式[3]可以近似,如式[4]所示:

clip_image049    [4]

83 d 132 d帶入分別得到3.801x3.875x,也就是應得的氦氣體積和x的倍數關係。以83 d數據計算,得式[5]

clip_image051    [5]

132 d數據計算,得式[6]

clip_image053    [6]

取其平均clip_image055。將clip_image057除以0.192 g,得到每公克clip_image006[17]每天產生的氦氣體積,如式[7]所示:

clip_image059    [7]

 

n  後見之明

依後見之明,我們可以計算clip_image006[18]α衰變速率,如式[8]所示:

clip_image061    [8]

 

也可以計算clip_image006[19]產生氦氣的速率,如式[9]所示:

clip_image063    [9]

兩個實驗數據與理論值比較,分別低估6.8%8.8%,然而為什麼我們仍從這些數據得到尚稱準確的亞佛加厥常數呢?原因在於實驗誤差雖大,兩個實驗分別量到93.7%91.2%α衰變,由兩種衰變實驗數據的比值,得到的亞佛加厥常數,如式[10]所示:

clip_image065    [10]

n  參考文獻和附註

1.        Avogadro constant, https://en.wikipedia.org/wiki/Avogadro_constant.

2.        Rutherford, E.; Geiger, H. Proc. R. Soc. Lond. A 1908, 81, 162-173.

3.        Boltwood, B. B.; Rutherford, E. Philos. Mag. 1911, 22, 586-604.

4.        Leenson, I. A. J. Chem. Edu. 1998, 75, 998-1003.

5.        放射性平衡(radioactive equilibrium)是指鐳-226衰變的過程中,各中間核種的數目為常數。

6.        鐳的每天衰變數目,因速率極低可視為常數。clip_image025[3]衰變後,後續的兩個α粒子輻射反應都很快,因此產生三倍體積的氦氣。

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